Grothendieck トポロジーと層の基礎

【定義 1.1 $\implies$ 定義 1.2】
$S$ を $h_X$ の部分関手とする。

1. 各対象 $Y \in \mathcal{C}$ に対して、集合 $S(Y)$ は $\Hom_{\mathcal{C}}(Y, X)$ の部分集合である。これらすべての $Y$ についての $S(Y)$ を寄せ集めたものを新しい射の集まり $\tilde{S}$ とする。すなわち、$\tilde{S} = \bigcup_{Y \in \Ob(\mathcal{C})} S(Y)$ である。これにより、$\tilde{S}$ は余域が $X$ である射の集まりとなる。
2. 合成について閉じていることを確認する。$f \in \tilde{S}$（すなわち、ある $Y$ について $f: Y \to X \in S(Y)$）とし、任意の射 $g: Z \to Y$ をとる。
   $S$ は $h_X$ の部分関手であるため、射 $g$ に対する反変関手 $S$ の作用 $S(g): S(Y) \to S(Z)$ は、表現可能関手 $h_X(g)$ の制限、すなわち「$g$ を右から合成する操作（引き戻し）」である。
   したがって、$S(g)(f) = f \circ g$ となる。関手の定義により $S(g)(f) \in S(Z)$ でなければならないため、$f \circ g \in S(Z) \subset \tilde{S}$ が成り立つ。よって、右イデアル性が示された。

【定義 1.2 $\implies$ 定義 1.1】
$S$ を、合成について閉じているような、余域が $X$ である射の集まりとする。

1. 各対象 $Y \in \mathcal{C}$ に対して、集合 $S(Y)$ を以下のように定義する。 $$S(Y) = S \cap \Hom_{\mathcal{C}}(Y, X)$$ これにより、各対象 $Y$ に対して表現可能関手の値 $h_X(Y) = \Hom_{\mathcal{C}}(Y, X)$ の部分集合が自然に定まる。
2. これが前層 (presheaf) として正しく機能することを示す。任意の射 $g: Z \to Y$ に対して、写像 $S(g): S(Y) \to S(Z)$ を $f \mapsto f \circ g$ で定義する。
   右イデアル性の仮定から、$f \in S(Y)$（つまり $f \in S$ かつ $\dom(f) = Y$）ならば、$f \circ g \in S$ である。
   また、合成の定義から明らかに $f \circ g \in \Hom_{\mathcal{C}}(Z, X)$ である。したがって、以下が成り立つ。 $$f \circ g \in S \cap \Hom_{\mathcal{C}}(Z, X) = S(Z)$$ ゆえにこの写像は well-defined であり、合成則や恒等射の保存も自明に満たすため、$S$ は $h_X$ の部分関手となる。

定義 2.2 の写像が、定義 2.1 の条件を表現していることを確かめる。

ステップ 1: 右辺 $\Hom_{\PSh(\mathcal{C})}(S, F)$ と適合族の対応
自然変換 $\alpha: S \to F$ が与えられたとする。これは、各対象 $Y$ に対して写像 $\alpha_Y: S(Y) \to F(Y)$ が存在し、自然性を満たすということである。
ここで $S(Y) = S \cap \Hom_{\mathcal{C}}(Y, X)$ である。各 $f \in S(Y)$ に対して、$s_f = \alpha_Y(f) \in F(Y)$ と定める。
自然変換の自然性より、任意の射 $g: Z \to Y$ に対して以下の図式が可換となる。 $$ \alpha_Z \circ S(g) = F(g) \circ \alpha_Y $$ $f \in S(Y)$ に両辺を適用する。左辺は $f$ を $S(g)$ で引き戻した $f \circ g \in S(Z)$ を $\alpha_Z$ で送るため、$\alpha_Z(f \circ g) = s_{f \circ g}$ となる。
右辺は $f$ を $\alpha_Y$ で送った $\alpha_Y(f) = s_f$ を $F(g)$ で引き戻すため、$F(g)(s_f)$ となる。
したがって、$F(g)(s_f) = s_{f \circ g}$ が成り立つ。すなわち、自然変換 $\alpha: S \to F$ を与えることは、適合族 $(s_f)_{f \in S}$ を与えることと一対一に対応する。

ステップ 2: 左辺 $\Hom_{\PSh(\mathcal{C})}(h_X, F)$ と $F(X)$ の対応
米田の補題 (Yoneda lemma) により、以下の自然な全単射が存在する。 $$\Hom_{\PSh(\mathcal{C})}(h_X, F) \cong F(X)$$ 自然変換 $\tilde{\alpha}: h_X \to F$ は、大域的な元 $s = \tilde{\alpha}_X(\id_X) \in F(X)$ と一対一に対応し、任意の $f \in \Hom_{\mathcal{C}}(Y, X)$ に対して $\tilde{\alpha}_Y(f) = F(f)(s)$ となる。

ステップ 3: 写像の全単射性と貼り合わせの対応
包含射 $i: S \hookrightarrow h_X$ による引き戻し写像 $$i^* : \Hom_{\PSh(\mathcal{C})}(h_X, F) \to \Hom_{\PSh(\mathcal{C})}(S, F)$$ は、ステップ1とステップ2の同型を通して、以下の写像と同一視される。 $$ F(X) \to \{ S \text{ に対する適合族全体の集合} \} $$ $$ s \mapsto (F(f)(s))_{f \in S} $$ この写像が全射 (surjective) であることは、任意の適合族に対して、それを $(F(f)(s))_{f \in S}$ の形で与えるような元 $s \in F(X)$ が存在すること（貼り合わせの存在）と同値である。
この写像が単射 (injective) であることは、そのような元 $s \in F(X)$ がただ一つしか存在しないこと（貼り合わせの一意性）と同値である。
したがって、写像が全単射であることは、定義 2.1 の条件を完全に満たすことと同値である。

対象 $X$ において、ある被覆 sieve $R \in J(X)$ 上で $F^+$ の2つの元 $u, v \in F^+(X)$ が一致すると仮定する。大域的にも $u = v$ であることを示す。

$u = [S, \alpha]$、$v = [T, \beta]$ とおく（$S, T \in J(X)$）。仮定より、任意の $f: Y \to X \in R$ に対して $F^+(f)(u) = F^+(f)(v)$ が成り立つ。
これは $F^+(Y)$ における等式であるから、有向余極限の定義により、各 $f \in R$ に対してある被覆 sieve $W_f \in J(Y)$ が存在し、$W_f \subset f^*S \cap f^*T$ かつ $\alpha$ と $\beta$ の $W_f$ への引き戻しが一致する（ここで $f^*S$ は $S$ の $f$ による引き戻し sieve を表す）。

ここで、新たな sieve $K$ を以下のように定義する。 $$K = \{ f \circ g \mid f \in R, g \in W_f \}$$ Grothendieck 位相の公理（推移性 / transitivity）により、$R \in J(X)$ かつ各 $f \in R$ について $W_f \in J(Y)$ であるため、$K \in J(X)$ となる。
$g \in W_f \subset f^*S$ であるから、$f \circ g \in S$ であり、同様に $f \circ g \in T$ である。よって $K \subset S \cap T \cap R$ である。
さらに、任意の $k = f \circ g \in K$ について、$\alpha|_K$ と $\beta|_K$ を評価すると、$\alpha$ と $\beta$ は $W_f$ に引き戻したときに一致するため、$\alpha(k) = \beta(k)$ が成り立つ。
すなわち、共通の被覆 sieve $K \in J(X)$ 上で $\alpha|_K = \beta|_K$ となる。有向余極限における同値関係の定義から、$[S, \alpha] = [T, \beta]$、すなわち $u = v$ である。よって $F^+$ は分離的である。

$F$ を分離的前層とする。任意の $R \in J(X)$ と $F^+$ の適合族 $(u_f)_{f \in R}$（ここで $f: Y \to X \in R$、 $u_f \in F^+(Y)$）が与えられたとき、それを一意に貼り合わせる元 $u \in F^+(X)$ が存在することを示す。
一意性については、補題 3.2 により $F^+$ 自身が分離的であることから保証される。よって存在を示せばよい。

各 $f \in R$ に対して、$u_f \in F^+(Y)$ はある同値類 $[S_f, \alpha_f]$ によって代表される。ここで $S_f \in J(Y)$ であり、$\alpha_f: S_f \to F$ である。
新たな sieve $W$ を以下のように定義する。 $$W = \{ f \circ g \mid f \in R, g \in S_f \}$$ 前述と同様に位相の推移性から $W \in J(X)$ である。
射 $h = f \circ g \in W$ に対して、自然変換 $\alpha: W \to F$ を $\alpha(h) = \alpha_f(g)$ として定義したい。これが well-defined であることを確認する。
$h = f_1 \circ g_1 = f_2 \circ g_2$ と二通りに表されたとする。適合族の条件から、$F^+(g_1)(u_{f_1}) = u_h = F^+(g_2)(u_{f_2})$ が $F^+(\dom(h))$ で成り立つ。
$u_{f_1}$ と $u_{f_2}$ は $\alpha_{f_1}$ と $\alpha_{f_2}$ によって表現されているため、$F^+$ で一致するということは、$\dom(h)$ 上のある被覆 sieve $V \in J(\dom(h))$ が存在して、$\alpha_{f_1}(g_1 \circ k) = \alpha_{f_2}(g_2 \circ k)$ がすべての $k \in V$ に対して成り立つことを意味する。
ここで $F$ が分離的であるという仮定を用いる。局所的な被覆 $V$ 上で $F$ の値が一致するならば、大域的（この場合は $\dom(h)$ 上）でも一致しなければならない。すなわち $\alpha_{f_1}(g_1) = \alpha_{f_2}(g_2)$ である。よって $\alpha$ は well-defined な自然変換である。

これにより $[W, \alpha] \in F^+(X)$ が定まる。構成から明らかに、任意の $f \in R$ について $F^+(f)([W, \alpha]) = u_f$ となり、求める貼り合わせが得られた。したがって $F^+$ は層である。

有限極限は有限直積と等化子 (equalizer) から構成されるため、有向余極限がこれら2つと可換であることを示せば十分である。$\mathcal{I}$ を有向圏とする。

(1) 有限直積との可換性
関手 $X, Y: \mathcal{I} \to \Set$ に対して、自然な写像 $\Phi: \varinjlim_{i \in \mathcal{I}} (X_i \times Y_i) \to (\varinjlim_{i \in \mathcal{I}} X_i) \times (\varinjlim_{i \in \mathcal{I}} Y_i)$ が全単射であることを示す。

• 全射性: 右辺の任意の元は $([x], [y])$（$x \in X_i, y \in Y_j$）と表せる。$\mathcal{I}$ が有向圏であるため、ある対象 $k$ と射 $i \to k$、$j \to k$ が存在する。$x, y$ の $X_k, Y_k$ における像を $x', y'$ とすると、$([x], [y]) = ([x'], [y']) = \Phi([(x', y')])$ となる。よって $\Phi$ は全射である。
• 単射性: $\Phi([(x_1, y_1)]) = \Phi([(x_2, y_2)])$ とする。ここで $(x_1, y_1) \in X_i \times Y_i$、$(x_2, y_2) \in X_j \times Y_j$ である。$[x_1] = [x_2]$ より、ある $k_1$ が存在し $x_1$ と $x_2$ は $X_{k_1}$ で一致する。同様に $[y_1] = [y_2]$ より、ある $k_2$ が存在し $Y_{k_2}$ で一致する。$\mathcal{I}$ は有向圏なので、$k_1$ と $k_2$ からの射を持つ対象 $k$ が存在する。対象 $k$ において、$x_1, x_2$ の像も、$y_1, y_2$ の像も一致する。したがって、$(x_1, y_1)$ と $(x_2, y_2)$ は $X_k \times Y_k$ において等しく、$\varinjlim (X_i \times Y_i)$ において等しい。よって単射である。

(2) 等化子との可換性
関手 $X, Y: \mathcal{I} \to \Set$ と2つの自然変換 $f, g: X \to Y$ を考える。各 $i \in \mathcal{I}$ について $E_i \to X_i \rightrightarrows Y_i$ を等化子とする（すなわち $E_i = \{x \in X_i \mid f_i(x) = g_i(x)\}$）。このとき、$\varinjlim_{i \in \mathcal{I}} E_i$ が $\varinjlim X_i \rightrightarrows \varinjlim Y_i$ の等化子になることを示す。

• 自然な写像 $\Psi: \varinjlim E_i \to \varinjlim X_i$ を考える。$[e_1] = [e_2]$ が $\varinjlim X_i$ で成り立つとする（$e_1 \in E_i, e_2 \in E_j$）。ある $k$ で $e_1, e_2$ は $X_k$ において一致する。$e_1, e_2$ の像は $X_k$ で等しいため、当然 $E_k \subset X_k$ においても等しい。したがって $\varinjlim E_i$ で $[e_1] = [e_2]$ となり、$\Psi$ は単射である。
• $\varinjlim X_i$ において等化子の条件を満たす元 $[x]$（$x \in X_i$）をとる。すなわち $\varinjlim Y_i$ において $[f_i(x)] = [g_i(x)]$ である。有向性より、ある $k$（$i \to k$）が存在し、$Y_k$ において $f_k(x_k) = g_k(x_k)$ となる。これは $x_k \in E_k$ を意味する。したがって $[x] = [x_k]$ は $\varinjlim E_i$ の像に含まれる。

以上より、有向余極限は有限極限と可換である。

1回のプラス構成に対して、任意の分離的前層 $G$ への射が $\Hom_{\PSh(\mathcal{C})}(F^+, G) \cong \Hom_{\PSh(\mathcal{C})}(F, G)$ を満たすことを示せば十分である。なぜなら、$G$ が層であれば当然分離的であり、この同型を2回適用することで $\Hom(F^{++}, G) \cong \Hom(F^+, G) \cong \Hom(F, G)$ が得られるからである。

前層の射 $\phi: F \to G$ が与えられたとき、これを $\phi^+: F^+ \to G$ に拡張する構成を行う。
対象 $X \in \mathcal{C}$ に対し、$x \in F^+(X)$ を同値類 $[S, \alpha]$ とする。ここで $S \in J(X)$ は被覆 sieve、$\alpha: S \to F$ は自然変換である。
$\alpha$ と $\phi$ を合成することで、自然変換 $\phi \circ \alpha: S \to G$ が得られる。$G$ は分離的前層であると同時に、仮定（ここでは最終的に $G$ を層とするため、層の性質を用いる）として $G$ は層である。
層の定義（定義 2.2）より、包含 $i_S: S \hookrightarrow h_X$ は全単射 $\Hom_{\PSh(\mathcal{C})}(h_X, G) \xrightarrow{\sim} \Hom_{\PSh(\mathcal{C})}(S, G)$ を引き起こす。
したがって、自然変換 $\phi \circ \alpha$ は $h_X \to G$ に一意に拡張され、これは米田の補題によりただ一つの元 $g \in G(X)$ に対応する。この $g$ を $\phi^+_X(x)$ と定義する。

well-defined であることの確認:
$[S, \alpha] = [T, \beta]$ であるとする。定義より、ある被覆 sieve $R \subset S \cap T$ が存在し、$\alpha|_R = \beta|_R$ となる。
これらを $\phi$ で送った $\phi \circ \alpha|_R$ と $\phi \circ \beta|_R$ も当然一致する。
$G$ への拡張は層の貼り合わせの一意性（$G$ が分離的であること）から、より小さな被覆 $R$ 上で一致する大域的な元は $X$ 全体でも一致しなければならない。したがって $\phi^+_X(x)$ の値は代表元の取り方によらず well-defined である。

拡張の一意性:
別の拡張 $\psi: F^+ \to G$ が存在したとする。任意の $x = [S, \alpha] \in F^+(X)$ に対して、被覆 $S$ に属する任意の射 $f: Y \to X$ で $x$ を引き戻すと、$F^+(f)(x)$ は $F(Y)$ から来る元になる。
$\psi$ は $F$ 上では $\phi$ と一致しなければならないため、被覆 $S$ 上で $\psi$ と $\phi^+$ は一致する。
$G$ が分離的であるため、被覆上で一致する射は大域的にも一致する。よって $\psi = \phi^+$ である。

以上より、前層の射 $\phi: F \to G$ は一意に $\phi^+: F^+ \to G$ に拡張される。これを繰り返すことで、$\phi$ は一意に $F^{++} \to G$ に拡張される。したがって、$a \dashv i$ が示された。

まず前層の圏 $\PSh(\mathcal{C})$ において考える。茎 $F_u$ はテンソル積 $u \otimes_{\mathcal{C}} F$ であり、要素の圏 $\int u$ を用いた余極限として計算される。平坦性（条件1）により $\int u$ は有向圏である。
定理 3.4 で示した通り、$\Set$ において有向余極限は有限極限と可換であるため、関手 $F \mapsto F_u$ は $\PSh(\mathcal{C})$ において有限極限を保存する。また、余極限は余極限と可換であるため、任意の余極限も保存する。

次に、層の圏 $\Sh(\mathcal{C}, J)$ においてこれが正しく振る舞うためには、前層 $F$ とその層化 $F^+$ が同型な茎を持つこと、すなわち射 $F_u \to (F^+)_u$ が全単射であることを示せば十分である。
任意の $x \in (F^+)_u$ は、ある対象 $C \in \mathcal{C}$、要素 $a \in u(C)$、および $\xi \in F^+(C)$ によって代表される。$\xi$ は、被覆 sieve $S \in J(C)$ と自然変換 $\alpha: S \to F$ の組 $[S, \alpha]$ である。
連続性（条件2）により、被覆 $S \subset h_C$ に対して $u(S) \to u(C)$ は全射である。したがって、元 $a \in u(C)$ は、ある射 $f: B \to C \in S$ と元 $b \in u(B)$ に持ち上げられる ($u(f)(b) = a$)。
このとき、$\xi$ を $f$ で引き戻した $\xi|_f$ は $F(B)$ の元 $\alpha(f)$ に対応する。組 $(B, b) \in \int u$ と元 $\alpha(f) \in F(B)$ は、$F_u$ における元を定める。有向余極限の性質により、これが $x \in (F^+)_u$ の原像となるため、全射性が示される。
単射性についても、被覆上での一致を連続性を用いて同様に持ち上げることで示される。
したがって、茎をとる操作は層化と可換であり、$\Sh(\mathcal{C}, J)$ 上の完全関手となる。